Artikler

Symmetri i matematik


Vores læsere kan reflektere med os om, hvordan de naturlige tal {0, 1, 2, 3, ...} opstår i det naturlige problem med tælling, hvor naturligt vi kan gå videre til at undersøge deres egenskaber, og hvor naturligt denne undersøgelse fører os til nye symboliske verdener. .

En af måderne fremad i videre undersøgelse af antallet af egenskaber er ligningens sti. Vi spørger: hvilket antal er tilføjet til 1 resultater i 3? Svaret er meget enkelt:

hvis x +1 = 3, så er x = 2.

Men scenariet ændrer sig meget, når vi spørger:

hvad er antallet, der blev føjet til 1, resulterer i 0?

Vi har nu ligningen:

x + 1 = 0.

Læseren indser, at det ikke er muligt at finde en løsning på denne ligning i en verden af ​​naturlige tal. Her kommer symmetrien: hvorfor der ikke ville være nogen løsning på denne ligning, hvorfor privilegiet med visse numre n ved at fremstille ligningen

x + 1 = n

har løsning?

Ovenstående ligning ville være asymmetrisk med hensyn til visse værdier af nhvis det ikke kunne løses. Sådan opstår negative heltal. De er den skjulte symmetri i ovennævnte ligning. Desuden løser de også problemet med manglende symmetri, som vi bemærker i en verden af ​​naturlige tal, når vi ser, at denne verden har en begyndelse (0) og ingen ende, det vil sige, der ikke er noget største naturlige antal. Nu med negative tal bliver numreverdenen en symmetrisk verden, fordi denne nye verden heller ikke har nogen begyndelse:

{… , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,… }

Alle ligninger af typen x + m = n nu har en løsning. Ikke mere privilegiet for visse numre over andre, at ovennævnte ligning har en løsning for dem og ikke for andre.

Læseren har et uundgåeligt spørgsmål: Men i den praktiske verden, hvordan kan denne symmetri af positive og negative heltal være nyttige?

Nå, skal læseren så spørge, om der i det praktiske liv er der vigtige fænomener eller situationer, der involverer modstridende genstande, der kan betragtes som positive og negative. I så fald er det nødvendigt at spørge, om tilføjelse og multiplikation af relative heltal også giver mening for sådanne genstande.

Det ville være en god ide for læseren at konsultere en fysiker, kemiker eller biolog om spørgsmålet om, hvorvidt der inden for disse forskeres områder, situationer eller genstande er modtagelige for kvantitativ beskrivelse i en verden af ​​positive, negative eller nulmængder. Encyclopedier kan også være nyttige til at præsentere viden, der er opnået ved at anvende begrebet negative og positive mængder på den virkelige verden.

Vi har set, at negative heltal {…, -3, -2, -1} løser problemet med asymmetri af naturlige tal {0, 1, 2, 3,…}, der har en begyndelse og ingen ende. Ved at tilføje de negative heltal bliver det nye talesystem symmetrisk omkring nul.

Hvordan kan vi repræsentere negative tal? Det vil sige, kan vi forestille os et tal, der giver os en god idé om det heltalede system?

En af disse måder er at repræsentere heltal som punkter på en linje. Vi vælger et punkt og forbinder det med tallet 0. Derefter markerer vi 1 til højre for 0, idet vi holder en bestemt afstand. På denne samme afstand satte vi -1 til venstre for 0. Derefter 2 til højre for 1, -2 til venstre for -1, og så videre. Pointen -n er derfor punktet til venstre for 0 i en afstand der er n gange afstanden fra 0 til 1.

Læseren kan ikke undgå følgende spørgsmål: Hvad skal man tænke på de punkter, der er mellem de punkter, der bruges til at repræsentere heltalene? Kan punktet nøjagtigt mellem 0 og 1 svare til en ny type nummer? Læseren vil straks sige: Tja, ville ikke brøkdel 1/2 være det nye nummer, der besætter den gennemsnitlige position mellem 0 og 1? Det er rigtigt, fraktionerne vil spille rollen som at udfylde "vakuumet" mellem hele punkterne markeret på en linje.

Igen finder vi den videnskabelige situation med behovet for at udfylde et rum eller udvide en idé, der synes at indikere en skjult symmetri eller et uforklarligt privilegium. Her kan vi sige, at privilegiet, der kun hele tal kan repræsenteres som punkter på en linje, er underligt, uforklarligt.

Symmetrien, der er skjult her, er tanken om, at alle punkter lige skal repræsentere tal, ikke kun de punkter, der bruges til at markere heltal.

Læseren finder sig igen undrende, om naturen har processer, der kan beskrives i ikke-heltalmængder. Matematisk er det naturligt at forestille sig det numeriske system fra en linje og vælge ethvert punkt til at repræsentere nul. Nå, i det mindste for os, tre hundrede og så år efter René Descartes, den franske filosof og matematiker, der introducerede ideen om talrepræsentation i en linje og skabte analytisk geometri, det lyder naturligt.

Hver nye idé, vi introducerer for at løse et problem med skjult symmetri eller et andet matematisk problem, fører os naturligvis til andre uventede ideer, der giver mening, og hvis udvikling i sidste ende afslører nye matematiske sandheder.

De nye matematiske sandheder afslører på sin side beskrivelser af tidligere uforklarlige eller endda ukendte naturprocesser.

Når vi markerer brøkdelene på en linje får vi indtryk af, at alle punkter på linjen kunne være besat. Men Pythagoras havde allerede indset, at kvadratroten af ​​2 ikke er et brøktal. Således skulle vi også være i stand til at finde et punkt på linjen for kvadratroden af ​​2. Ved udgangen af ​​det 19. århundrede vidste matematikere allerede, at antallet pi, der vises i omkredslængde formel 2 pi R, heller ikke er brøk. derfor bør det også svare til et punkt på linjen.

Antallet pi vises også i mange andre matematiske situationer. Vi kan ikke opregne alle forekomster af antallet pi i matematik og endda ikke i matematiske modeller, der søger at repræsentere naturfænomener. Tal såsom kvadratroten af ​​2 og antallet pi kaldes irrationelle tal, fordi de ikke er brøkdelede, dvs. de kan ikke repræsenteres af grunde mellem heltal. Et naturligt spørgsmål opstår så: Hvor mange er disse irrationelle tal? Er der punkter på linjen, der også repræsenterer disse irrationelle tal?

I slutningen af ​​det 19. og det tidlige 20. århundrede opdagede matematikeren Georg Cantor, at der er mange flere irrationelle tal end brøktal! Den måde, Cantor demonstrerede denne sandhed på, var en stor overraskelse i den matematiske verden. En anden gang behandler vi spørgsmålet om at vise, at der er mange flere irrationelle tal end rationelle eller delvise tal.

Opfattelsen af ​​den geometriske linje som en numerisk linje, det vil sige hvert punkt svarer til et fraktioneret (rationelt) tal eller et irrationelt tal, var en stor innovation i matematik.

For omkring 300 år siden forestilte Renée Descartes sig sandsynligvis ikke, at de fleste punkter på den geometriske linje ville svare til irrationelle tal. Men et andet spørgsmål opstår straks: er de reelle tal væk? Eller er der stadig en form for reelt tal, der også kræver et punkt på linjen for at rumme det?

Problemet med hensyn til, om rationel og irrationel udtømmer punkterne på den geometriske linje er færdiggørelsesproblemet. Matematikere ved i dag, at talelinjen er komplet. Det vil sige, der er ingen mellemrum mellem to reelle tal. Men afslutter det problemet med at vide, hvad alle numre er? Det er interessant at bemærke, at endnu ikke! Hvis vi på den ene side allerede kan se de reelle tal som en kontinuum af punkter, det vil sige en lige linje uden huller, på den anden side kan vi stadig ikke løse problemet med at finde et tal, hvis firkant plus et er nul.

Tilbage til kolonner

<